大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了：等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约。这个不可通约量的发现和芝诺悖论一起引发了“第一次数学危机”。

　 希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚。因为他竟然在宇宙间搞出了这样一个东西来否定毕 达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。

　 毕达哥拉斯学派是古希腊最古老的哲学学派之一。据说这个学派有两条最能概括他们思想特色的格言：“什么最智慧？只有数目”，“什么最美好？只有和谐”。毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。

　 直角三角形的直角边与其斜边不可通约，这个简单的数学事实的发现使毕达哥拉斯学派的人感到迷惑不解。它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信仰。所以，通常人们就把希帕索斯发现的这个矛盾，叫做希帕索斯悖论。

　 这一悖论的发现，震惊了当时的西方数学界，也引起了古希腊人数学观念的更新。这场“危机”表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的。从此以后，希腊人开始由重视计算转向重视推理，由重视算术转向重视几何学，并由此建立了几何公理体系。其实，这是数学思想上的一次巨大革命！

　 自无理数发现以后，埃利亚派的芝诺又“把离散与连续的问题惹人注意地提了出来”。按照西方学术界一般的说法，除了希帕索斯悖论外，芝诺悖论也是导致“第一次数学危机”的主要因素。

　 据说，芝诺和他的老师巴门尼德一样，原来也是毕达哥拉斯派的学者。芝诺提出关于运动的“四个悖论”，与其说是为了他老师的观点进行辩护，不如说是为了攻击毕达哥拉斯的数学理论的基础。这四个悖论可以概述如下：

　 第一个是二分法悖论；第二个是阿基里斯追不上乌龟的悖论；第三个是“飞矢不动”的悖论；第四个是“运动场悖论”。

　 芝诺关于运动的“四个悖论”所得出的结论明显地与人们的直觉相矛盾，但在当时却被认为是难以驳倒的。其实，它们之间看起来似乎是各不相关的，但它们总的思想却极其深刻地揭露了运动的矛盾本质。面对芝诺悖论，当时的科学理论包括数学理论似乎都陷入了不可解决的矛盾困境。

　 当时，人们对时间和空间有两种对立的看法：一是空间和时间是无限可分的；二是空间和时间是由不可分的小段组成的（像放电影那样）。按照第一种看法，运动是连续的；按照第二种看法，运动将是一连串的小跳动。芝诺悖论正是针对上述两种看法提出来的。从思想史上看，芝诺悖论虽然提出了如何理解有限与无限、间接与连续、时间与空间、运动与静止等问题，但并未解决这些问题。当然，芝诺视运动为矛盾而加以否定时，客观上却正好揭示了运动的矛盾本质。亚里士多德在经验范围内曾逐一反驳了芝诺的四个论证，认为它们完全是错误的。但是，他并没有从概念上揭示运动的矛盾本质。相反，芝诺通过概念的论证，发现了运动的矛盾本质，这样他的思想反而显得更深刻一些。因此，黑格尔称赞他为概念辩证法的创始人。

　 悖论的发现是否意味着数学理论的垮台呢？回答是否定的。我们认为，无矛盾性对于一个理论系统来说是很重要的，但无矛盾性并不是某一理论系统具有真理性的充分条件。诚如法国哲学家帕斯卡尔所说，“矛盾不是假的标志，不矛盾也不是真的标志”。应当指出的是，历史上发现的希帕索斯悖论和芝诺悖论，都是从毕达哥拉斯学派的理论系统中引出来的，它们所揭示的矛盾是极其深刻的。实际上，希帕索斯悖论和芝诺悖论既直接引发了“第一次数学危机”，同时也刺激了数学和逻辑学的发展。第一次数学危机后出版了两本经典著作：一是关于数学的第一本经典著作―――欧几里德的《几何原本》；二是关于逻辑学问题的第一本经典著作―――亚里士多德的《工具论》。这两本经典著作标志着公理几何学和逻辑学的诞生，成为数学发展史上具有重大意义的事件。