一个年轻人想到爱迪生的实验室里去工作，爱迪生接见了他。为了博得爱迪生的好感，这位年轻人对爱迪生说：“我想发明一种万能溶液，它可以溶解一切物品。”爱迪生听罢，反问道：“那你想用什么器皿来放置这种万能溶液呢？它不是可以溶解一切物品吗？”顿时，年轻人哑口无言。

　 和谐是一切科学理论所追求的价值目标，也是评价某一科学理论真理性的内在标准。显然，一个科学的理论是不能允许逻辑矛盾存在的。然而，科学史上发现的许多悖论就属于这种矛盾。

　 在数学史上，人们通常把17世纪晚期微积分诞生以来在数学界出现的混乱局面称为数学的第二次危机。这次危机虽然是由“无穷小”悖论引起的，但它却直接导源于微积分工具的使用。

　 在17世纪和整个18世纪，微积分理论的产生及其在各个领域里的广泛应用，使得微积分理论得到了飞速的发展。但与此同时，微积分的发明也给传统的数学方法带来了一系列的变革，特别是微积分理论引入了一些为传统数学无法理解的概念和方法，而这些概念本身也带有一定的含糊性。这些基础方面的缺陷，最终导致了一场尖锐的、旷日持久的争论。

　 微积分从一诞生，就遭到了一些人的攻击，甚至有人说微积分是荒谬的理论，其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。1734年，贝克莱出版了一本标题极长的书。在这本书中，贝克莱抱怨数学家们的推理晦涩难懂、玄奥莫测，指责一些数学家对自己的每一步既没有给出逻辑，也没有说明理由。贝克莱对牛顿的理论提出了批评，指责无穷小方法中包含着悖论。在牛顿的理论中，无穷小量究竟是否为零呢？就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是零，又不是零。但就逻辑而言，这无疑是一个矛盾。对于“逐渐消失了的增量”，贝克莱认为，“它们既不是有限量，也不是无限小，也不是零，难道我们不可以把它们称为消失了的量的鬼魂吗？”贝克莱的批评虽然出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。因此，数学史上也把贝克莱关于“无穷小量是否为零”的问题称之为“贝克莱悖论”。

　 尽管微积分理论在创立和发展过程中遭受到多方面的指责和攻击，但是，由于数学家把无穷小量作为实在的量进行运算时，其结果总是正确的，因而微积分理论一但初具规模，就派上了很大用场，并且在实践中得到了成功的应用。微积分理论的应用和发展增强了数学家研究和发展微积分理论的信心。马克思曾指出：“大多数人进行微积分，并不是由于他们懂得他们在做什么，而是出于单纯的相信，因为直到现在得出的结果总是正确的”。著名的数学史家M？克莱因在描述这段历史的情景时曾说：“令人吃惊的是，在理论完全没有保证的情况下，却还极端地相信结论。因为18世纪的数学家们在没有逻辑支持的情况下，愿意如此勇敢地冲杀向前，所以这段时期被称为数学的英雄年代。”

　 微积分建立后，经过大约一个多世纪数学基础问题的争论，到了18世纪末，人们逐渐认识到，不替微积分建立坚实的逻辑基础而含糊地使用一些基本概念是不严格的。尽管这些争论没有解决“无穷小”悖论，但却为19世纪30代起所展开的“分析批判运动”准备了条件。

　 经过几代数学家的努力，微积分理论逐步得到了完善和丰富。在柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金等人的研究基础上，微积分理论的一些基本概念，如极限、连续、导数、微分和积分等，得到了重新定义。由于微积分理论的基础在于极限论，极限理论的基础在于实数论，这样一来，微积分就建立在严密的实数理论基础之上。实际上，由于严格的微积分理论的建立，由牛顿和莱布尼茨时代提出来的“无穷小”悖论，就被排除了；同时，第二次数学危机也得到了合理的解决。

　 那么，“无穷小”悖论给我们什么启示呢？笔者以为，数学之美在于和谐。“无穷小”悖论的发现表明：数学理论自身还有不和谐之处。因此，破解悖论、追求和谐，是数学发展的内在动力。实际上，“无穷小”悖论的发现具有重要的方法论价值。这个悖论具有双重属性，它既给数学带来了深刻的危机，也给数学家思维方式的变革和数学理论发展提供了重要契机。