戴维斯的努力―――一个麻烦变成两个麻烦

　 戴维斯的父母从波兰移民美国，戴维斯本人则出生在纽约。1944～1948年间，戴维斯在纽约市立大学学习，波斯特对希尔伯特第十问题期待一个否定答案的看法，用戴维斯本人的话说是开始了他“对这一问题的终身迷恋”。从纽约市立大学毕业后，戴维斯来到了美国逻辑学的中心普林斯顿，跟随丘奇从事进一步的研究。戴维斯在普林斯顿研究的是一个冷门的课题，对于研究生来说，研究这样的课题最容易出成果。但戴维斯无法抵御希尔伯特第十问题的魅力，在研究自己课题的同时，分出精力继续思考希尔伯特第十问题。他甚至在博士论文上特意增添了一个章节，叙述了自己在希尔伯特第十问题上“不务正业”的结果，那是在1950年。这一增添的章节使戴维斯的那篇原本会像多数研究生一样被人遗忘的博士论文名垂史册。3年后，戴维斯发表了一篇更详细的论述。他的这一工作标志着数学家们正式开始解决希尔伯特第十问题。

　 戴维斯在他的研究中引进及运用了一个重要的概念―――丢番图集（Diophantus Set）。和上面提到的递归可枚举集一样，丢番图集也是一些由自然数组成的集合。不同的是，递归可枚举集是由可以有效计算的函数生成的，丢番图集则是通过丢番图方程生成的。戴维斯的重要发现就在于找到了这两类集合之间的一种关联。

　 这两类集合之间的关联之所以重要，是因为倘若希尔伯特第十问题具有肯定的答案，即存在一个算法来判定丢番图方程是否有解，那么我们就可以用这一算法来确定一个自然数是否属于某个丢番图集，这表明所有丢番图集都是可判定的。反之，倘若我们可以证明某些丢番图集是不可判定的，也就证明了希尔伯特第十问题具有否定的答案，而这正是戴维斯想要做的。

　 证明某些丢番图集是不可判定的，最好的办法就是设法把它与某一类已经知道是不可判定的集合联系在一起，递归可枚举集就正是这样的一个角色。如果有人可以证明所有的递归可枚举集都是丢番图集，也就等于证明了某些丢番图集是不可判定的，从而也就完成了对希尔伯特第十问题的否定解决。

　 不幸的是，在戴维斯找到的关联中用到了一个被称为有界全称量词（Bounded Universal Quantifier）的逻辑算符。如果没有这个有界全称量词，他就可以证明所有的递归可枚举集都是丢番图集，大功也就告成了。可是数学证明是差不得分毫的，因为有了这个有界全称量词，戴维斯的逻辑链条中断了。尽管如此，戴维斯仍然相信所有的递归可枚举集都是丢番图集，他把这一点作为一个猜测提了出来。在当时，这是一个很大胆的猜测。

　 要证明戴维斯的猜测，关键得把那个有界全称量词去掉，这是件非常困难的事。直到9年以后的1959年，戴维斯才在与哲学家普特南（Hilary Putnam，1926～）的合作中有条件地做到了这一点。做到这一点所付出的代价是不得不引进两条额外的假设。初看起来，这像是不进反退，原本只有一个麻烦，现在反而变成了两个。但数学假设的证明难度不是用数量来衡量的，戴维斯与普特南所引进的那两条额外假设比那个有界全称量词来得具体，因而处理起来要容易一些。在发表这一研究的全文之前，戴维斯与普特南决定听一听研究希尔伯特第十问题的另一位重要人物罗宾逊夫人（Julia Robinson，1919～1985）的看法，他们把结果寄给了罗宾逊夫人。这一寄揭开了一段新的合作，把他们的结果又大大向前推进了一步。

　 罗宾逊猜想―――距解决只剩一步之遥

　 罗宾逊夫人是数学界少有的女数学家之一。与其他女数学家一样，她一生在追求学术的过程中遇到过许多坎坷。这些坎坷既有来自社会的，也有生活上的不幸。罗宾逊夫人幼年时屡患疾病，导致身体虚弱，无法生育，这一点曾使酷爱家庭的她陷入极度的痛苦之中。后来，在她同为数学家的丈夫的引导下，是数学的力量让她渐渐摆脱了痛苦的阴影。罗宾逊夫人的丈夫早年曾是她的数论教授，帮助她打下了非常扎实的数论基础。罗宾逊夫人自1948年起开始研究希尔伯特第十问题，并曾经与戴维斯有过交流。当她收到戴维斯与普特南寄来的结果时，凭借自己的数论功底很快发现，他们所作的两个假设中有一个可以去掉，同时整个证明也可以作极大的简化。1961年，戴维斯、普特南及罗宾逊夫人合作发表了这一简化后的结果。这一结果是戴维斯、普特南的逻辑技巧与罗宾逊夫人的数论功底的完美结合，也是希尔伯特第十问题研究中的又一个重要的进展。

　 但是在戴维斯与普特南所作的两个假设中仍有一个连罗宾逊夫人也无法去除。那便是在他们的结果中用到了一种被称为“指数丢番图集”的集合，这种集合类似于丢番图集，但却涉及指数函数。倘若有人可以证明“指数丢番图集”实际上就是丢番图集，那么戴维斯、普特南及罗宾逊夫人的工作就完全了，希尔伯特第十问题也就被证明具有否定的答案了。但“指数丢番图集”究竟是不是丢番图集却困住了这三个人。

　 对罗宾逊夫人而言，“指数丢番图集”其实并不陌生。早在1948年，她刚刚涉足希尔伯特第十问题的时候，就研究过由著名逻辑学家塔尔斯基（Alfred Tarski，1901～1983）提出的一个猜测。这一猜测认为“指数丢番图集”不是丢番图集。经过一段时间的研究后，罗宾逊夫人开始怀疑塔尔斯基的猜测，因为她找不到任何证据可以支持这一猜测，于是转而猜测与塔尔斯基猜测相反的命题，即“指数丢番图集”实际上就是丢番图集，这个命题被称为罗宾逊猜想。这也正是戴维斯、普特南及罗宾逊夫人1961年的工作中惟一缺失的环节。他们距离希尔伯特第十问题的解决只剩下一步之遥，但这一步却难似登天。

　 在罗宾逊夫人沉醉于希尔伯特第十问题的那些年里，幼年患病所留下的后遗症一再困扰着她。当年的一位医生甚至预言她的心脏机能受损严重，也许活不过40岁。这一预测虽然很幸运地由于后来的一次成功的心脏手术而没有成为事实，但每一年的生日，罗宾逊夫人都要在吹熄蜡烛的时候许愿，希望能够看到希尔伯特第十问题的解决。无论谁来解决都可以，但一定要在她有生之年解决。“我无法忍受在不知道答案的情况下离开人世。”这是罗宾逊夫人的话。

　 时光一年年流逝，罗宾逊夫人的愿望一次次落空。那手握最后一把钥匙的人究竟在哪里呢？

　 那个时候，戴维斯也常常被人问到这一问题。当时正是冷战时期，对美国人来说世界上最遥远的地方莫过于俄国。戴维斯调侃地回答：“那会是一位聪明的俄国年轻人。”他说对了！一个名叫马蒂亚塞维奇（Yuri Matiyasevich，1947～）的俄国年轻人将从世界的另一端走上数学舞台。

　 马蒂亚塞维奇―――为智慧链条扣上最后一环的人

　 马蒂亚塞维奇，1947年出生在俄罗斯圣彼得堡（当时称列宁格勒），12岁时父亲去世。凭借优异的成绩，家境贫寒的马蒂亚塞维奇在数学竞赛中脱颖而出，获得了各种教育机会。1965年，在他念本科的时候，他的导师马斯洛夫（S．Yu．Maslov，1939～1982）建议他证明丢番图方程的不可判定性。马斯洛夫轻描淡写地说：“这个问题也被称为希尔伯特第十问题，但你不必理会这个。”马蒂亚塞维奇表示他对研究这类不可解问题没有经验，马斯洛夫补充道：不可解问题没什么大不了的，无非就是把它约化成一个已知是不可解的其他问题。他还告诉马蒂亚塞维奇，有几个美国人曾做过一些研究，但不必理会那些研究，因为它们“很可能是不充足的”。

　 马蒂亚塞维奇的研究开始并不顺利，他曾一度以为自己已经解决了问题，甚至开始准备作报告了，结果却发现自己犯了一个错误。一段时间的徒劳无功之后，他开始阅读“几个美国人”的“很可能是不充足的”研究成果，但依然没有获得实质性进展。随着毕业时间的临近，他只好把这个问题放在了一边。

　 1969年，顽强的罗宾逊夫人又向希尔伯特第十问题做了一次冲击。虽然这一次仍然没有成功，但她为证明罗宾逊猜想提出了一条非常巧妙的思路。罗宾逊夫人的结果发表后，很快有同事把这一消息告诉了马蒂亚塞维奇。这时的马蒂亚塞维奇已决定不再把时间浪费在希尔伯特第十问题上了，于是没有理会。事情接下来的发展极富戏剧性，用马蒂亚塞维奇自己的话说：“在数学天堂的某个角落里，必定存在着一位数学之神，不想让我错过罗宾逊夫人的新论文。”由于他此前对希尔伯特第十问题的研究，苏联的一份数学评论杂志把罗宾逊夫人的论文寄给了他，让他加以评论。这一看，马蒂亚塞维奇立即被罗宾逊夫人的思路吸引住了，他重新投入到希尔伯特第十问题的研究上来。

　 接下来的几个月，马蒂亚塞维奇一直在思索罗宾逊猜想。1969年的除夕派对上，马蒂亚塞维奇由于过分专注，走的时候竟然错穿了他叔叔的衣服。全神贯注的投入终于让他获得了巨大的成功。1970年新年过后第四天，马蒂亚塞维奇成功地证明了罗宾逊猜想，从而一举解决了希尔伯特第十问题。有了几年前误以为解决希尔伯特第十问题的教训，这次他把文章交给了马斯洛夫及另一位数学家栗弗席茨（Vladimir Lifshits），请他们检验，自己携未婚妻出外滑雪度假。两个星期后当他回到学校，一切都变了。他的论文经受住了以眼光犀利著称的数学家法蒂夫（D．K．Faddeev，1907～1989）与马尔科夫（A．A．Markov，1903～1979）的检验，他成为希尔伯特第十问题的解决者。

　 1月29日，马蒂亚塞维奇作了有关他研究成果的第一次公开演讲。那次演讲中的一位听众把这一成果带到了不久之后在西伯利亚诺沃斯比尔斯克（Novosibirsk）举行的一次数学会议上，会议的出席者中恰好有一位罗宾逊夫人的同事。就这样，马蒂亚塞维奇解决希尔伯特第十问题的消息很快传遍了数学界。当时马蒂亚塞维奇还不满23岁，正是一位“聪明的俄国年轻人”。

　 2月15日，罗宾逊夫人接到了同事的电话，告知她这一消息。那一年的生日，当罗宾逊夫人将吹熄生日蜡烛时，她停了下来，忽然意识到自己许了这么多年的愿望已经成为了现实，那是一种美妙的感觉。虽然她曾经那么接近答案，却还是失之交臂，但她没有觉得遗憾。对罗宾逊夫人来说，对数学真理的欣赏远远超越了任何个人的荣誉。她在给马蒂亚塞维奇的祝贺信中这样写道：“让我特别高兴得是，当我想到我最初提出那个猜想的时候，你还是个孩子，而我不得不等待你的长大。”戴维斯也非常兴奋，他在自己的经典著作《可计算性与不可解性》的平装本序言中写道：“我一生最大的快乐之一是1970年2月读到马蒂亚塞维奇的工作”。年轻的马蒂亚塞维奇同样对戴维斯、罗宾逊夫人以及在解决希尔伯特第十问题的漫长征途中作出贡献的所有前辈数学家表达了深深的敬意。

　 在20世纪六七十年代那个寒冷的政治冬天里，这些第一流的数学家们以他们的探索精神划开了冷战的冰层，让世人看到了科学的伟大人文力量。按照罗宾逊夫人的说法，这是一种存在于科学家心中的观念，它跨越地理、种族、意识形态、性别、年龄甚至时代而存在，过去、现在及未来的所有数学家们彼此都是同事，他们献身于一个共同的目标，那便是最美丽的科学与艺术。

　 （本文的主要参考文献为：BenjaminH．Yandell《The Honors Class：Hilbert′s Problems and Their Solvers》，A K Peters Ltd，December 1，2003）