投票方式改变可能颠覆选举结果
在论坛里，在博客上，网民们一方面对候选人和他们的政见品头论足，一方面也兴致盎然地关注着大选的技术性细节。毕竟，投票这件事情本身，是大多数人都不那么熟悉和了解的。
“且慢”，也许你会有异议：“如果说选举过程中的政治操作很复杂的话，投票本身还有什么复杂性可言？一人一票地统计就是了啊。”
当然不仅如此。正如我们所知，美国的选举制度并非简单的一人一票。事实上，“一人一票”并不一定是个自然的办法，甚至也不一定是个好办法。
从下面这个简单的例子很容易就可以看出，投票中蕴含的学问也许比你想象的要大。假设有一组人要从甲乙丙3个候选人中选出一个来担任某项职务。大家对这3个人的内心偏好列如下：
有2个人认为甲优于乙优于丙
有3个人认为甲优于丙优于乙
有2个人认为丙优于乙优于甲
有4个人认为乙优于丙优于甲
现在大家投票。按照每人投一票的原则，每个人给他心中最胜任的人选投上一票，结果是甲得5票，乙得4票，丙得2票，排名是甲高于乙高于丙，最后甲当选。看起来没什么问题。
如果换一个规则，假定大家认为每人一票不足以反映民意，决定每个人分别投两票给他认为最胜任和次胜任的人选，那么结果会有多大差别？计算一下就会发现，最后甲得5票，乙得8票，丙得9票，排名是丙高于乙高于甲，当选的是丙，原先票数最高的甲反而垫底！
上述怪诞的事实说明，在选民意志不变的情形下，选举规则的改变有时会在根本上颠覆（而非像直觉告诉我们的那样至多小幅改变）选举的结果。也许你已经想到，除去上面所说的一票制和两票制之外，还有很多别的选举方式，例如数学家J．Borda在1770年批评法兰西科学院选举制度时提出来的Borda计票法。
Borda认为，如果每个人只投一票，那么选民对自己心目中除最优者之外的选项的偏好顺序就完全无从在选举中得以表达，而每人投两票或者更多票也不公平，因为那抹煞了每个人心目中最优和次优的区别。他建议，比如还是有3个候选人的情况下，每个人给心目中的最优者投两票，次优者投一票，第三名不投票，这是最能完整表达投票者偏好顺序的方式。
事实上，无论是一票制、两票制，还是Borda投票制，都可以看成所谓的“排序投票制”的特例。排序投票就是每个人给候选人在心中排好一个偏好次序，然后给每个次序上的人投一定票数。这听起来是很合理的办法，唯一的区别只是第几名到底投几票而已，而数学家D．Saari却在上世纪末证明了一个“荒谬”的定理，它的大意是说，同一组选民在不同的投票制度下可以给出差异极大的投票结果。如果有4名以上的候选人，那么可以找到合适的一组选民，使得在选民偏好不变的情况下任何候选人都能通过选择一种合适的排序投票制当选。
也许你会认为这只是数学家们挖空心思构造出来的别扭反例罢了，在很多情况下，比如说，大家“万众一心地”认为甲优于乙优于丙，那么无论怎么投票，最终都会是甲当选。这当然是没错的，但是另一方面，数学家D．Saari和M．Tataru仔细估计了在3人竞选的情况下，当选民人数足够多时这种“正常状况”（也就是同样的选民无论采用什么投票制度都是同一个人当选）和“异常情况”（也就是同样的选民在不同的投票制度下选出不同的当选人）的出现几率，结果发现，“正常情况”的概率只有30％左右，也就是说，如果是3人以上的竞选，那么大多数时候投票制度的不同都能影响到最后的选举结果！
事实上，人们并不是第一天注意到选举结果对选举制度的强烈依赖性。很多人都注意到，美国的大选并非全国统一计票，而是各州分别计票，然后每个州的胜者囊括该州的全部“选举人票”（其数额根据各州人口比例事先确定）。这是从美国立国早期就形成的“选举人团”制度，其用意在于平衡州权，放大人数上居于弱势的地区和团体的利益，防止少数人的利益被忽视。举例来说，亚裔在全美的人口比例很小（占4％左右），那么如果全国统一计票，除非两名候选人得票咬得很紧，否则这4％的偏好并不会被得到特殊的重视。但是在选举人团制度下，由于亚裔在某些州的比例很高，比如在加州达到12％，那么这些亚裔的投票倾向就会影响到加州全部选举人票的走向，而加州的选举人票在全美举足轻重，于是本来人数很少的团体的倾向就会被这种杠杆效应放大，从而得到更多的重视。200年来这一投票办法已经成为美国政治制度的核心之一，虽然争议颇多，但是至今没有改变。
但是，正像我们前面看到的那样，既然采用了同普遍计票法不同的计票方法，就要面对最终的当选人同按照普遍计票法不一致的情况。最近（也是最著名）的例子是2000年总统大选，小布什以271张选举人票对戈尔的266张选举人票赢得了大选，而全国选票统计却是戈尔以48.4％的得票率胜过小布什的47.9％的得票率。很显然，戈尔面对的是一个看似不公平的结果（当然这取决于你怎样定义公平），但只要美国继续采用选举人团制度，他就肯定不会是有此遭遇的最后一位竞选人。
这些故事告诉我们，同样的一组选民可以在不同的选举规则下给出不同的结果。下面我们还会看到，即使在同样的选举规则下，候选人的微小变化也会导致结果的巨大改变。
这里有一个有趣的例子。假定一个部门要招聘一个新人，有4个人竞争这个职位，在考察过他们的条件后部门内部对他们进行了评价，其中
有3个人认为甲优于丙优于丁优于乙
有6个人认为甲优于丁优于丙优于乙
有3个人认为乙优于丙优于丁优于甲
有5个人认为乙优于丁优于丙优于甲
有2个人认为丙优于乙优于丁优于甲
有5个人认为丙优于丁优于乙优于甲
有2个人认为丁优于乙优于丙优于甲
有4个人认为丁优于丙优于乙优于甲
如果事先约定只采用一票制，那么最后的结果是甲高于乙高于丙高于丁，于是人力部门决定给甲发出录取通知。假定就在此时，人力部门忽然收到丙的通知，宣称他由于收到了别的公司的录取通知要退出这次申请。那么这个时候人力部门是应该接着给甲发录取通知，还是宣布由于竞争者少了一位所以要重新投票呢？恐怕大多数人都会觉得，反正丙本来得票也靠后，他的退出应该无伤大局才对。
实则不然，只要把上面那个表中丙的名字划去重新统计就会发现，仍然是一票制的情况下，结果会变成丁高于乙高于甲，原先得票垫底的丁才应该拿到这个职位。
这个例子反映了投票制度的“混沌性”，或者说，结果对扰动的敏感依赖性。大家都知道的一句描述混沌现象的名言是“某地的一只蝴蝶扇动翅膀也许会影响到某一场飓风”，那么在这里我们可以说：“某一个次要竞争者的变化，也许会影响到重量级竞争者的崛起或者覆灭。”
一个类似但是复杂得多的例子是在2008年初的民主党党内初选中，希拉里和奥巴马双雄并立，希拉里略占优势。而爱德华兹一直屈居第三，终于在“超级星期二”来临之前的1月底宣布退出竞争，他的退出很快打破了希拉里和奥巴马的平衡，部分地促成了奥巴马在超级星期二之后的十连胜，最终逼得希拉里退选。
事实上，在投票这件事情上，我们面对的不仅是简单的数字游戏，而且是人类社会最本质的问题之一：如何才有可能把社会中每个成员的意见，综合成为一个社会的整体意见？有趣的是，对这个问题最好的回答之一是以数学形式得到的。1972年的诺贝尔经济学奖得主K．Arrow 在他的成名作Social Choice and Individual Values（《社会选择与个人价值》）中给出了著名的Arrow定理，在这里考虑的是比投票更为普遍的情况，即如果一个集体中每个成员都对给定的一系列选项（或者候选人）有一组偏好顺序，那么一个“社会选择机制”能够在多好的程度上得到一个综合的排序。关于这个机制我们有下面这些自然的标准：
非独裁性：这个机制的结果不能总是等于同一个人的意见，也就是说，不存在一个人的意见总是凌驾于所有人的意见之上。
帕雷托最优性：如果在每个人的排序中甲都优于乙，在结果中甲也应当优于乙。
无关因素独立性：如果人们对丙的看法改变了，不应当影响到结果中甲和乙的相对排序。
Arrow定理是说，只要有3个或更多的候选者，就不可能存在一个社会选择机制同时满足这三条标准。
这个定理有很多种通俗的（也是容易引起误解的）解释和陈述方式，比如“所有的投票都不公平”或者“唯一理想的决策方式是独裁”，等等。但是事实上通过前面的讨论，我们很容易意识到这三个条件里最苛刻的是最后一条，即无关因素独立性。前两条看起来都是很自然的要求，只有第三条，我们已经看到，受制于投票机制的混沌特征，是非常难于满足的。
这一结论看似是令人失望的。它意味着我们这个社会不仅暂时还不完美，而且永远都不会完美。正像我们在许许多多别的领域中看到的那样，这种不完美并非出于某种粗糙的错误，而是理性和逻辑的必然。无论是数学中，还是自然科学中，这样的例子都数不胜数。
但是也正像许许多多别的领域中类似的例子那样，正是这些不完美才构成了这个世界的迷人之处。有了对现实中的不完美的解剖，和对更好的理想的无限追求，我们才有了演进的动力。正如深刻地理解了大洋彼岸这传奇式的经验和教训，我们才能更了解自己前进的方向一样。
而在这一切之中最迷人之处，则是这样复杂的现实可以被这样优美的数学所描述和论证。诚然，人们对这个课题中的大量细节还所知甚少，还有大量的悖论等待澄清，大量的工具等待发明，但是第一步已经走了出去，人们已经意识到，人类的社会生活本身是有可能在某种程度上被数学语言所刻画和约束的。自上世纪中叶以来，在这个领域中已经产生了若干位诺贝尔经济学奖得主，也诞生了若干深刻漂亮的数学成果。社会科学和数学的交互作用已经成为蔚为大观的潮流。
而正像数学家D．Saari在一篇名为《数学与投票》的文章中所说的那样，还有更多的挑战和机会就在前面等待着，一切还只是个开始而已。